Interessant zu wissen: Flächen

Hier noch weitere Beispiele:

$$\LARGE{g = 1 + \frac{N}{2} \left( k - 2 - \sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}\right)}$$

Legende:

• \(g\) bezeichnet das Geschlecht (‘Genus’ auf English) der Fläche, also die Anzahl "Löcher" in der Brezel.
• \(k\) bezeichnet die Anzahl Seiten des Polygons.
• \(n_i\) kommt aus der Formel für die Innenwinkel zwischen den Seiten eines Polygon. Jeder Innenwinkel in einem Polygon kann als reduzierter Bruch in der Form \(\pi\frac{m_i}{n_i}\) geschrieben werden, wobei \(i=1,...,k\). Reduziert heisst, dass der Nenner und der Zähler keine gemeinsamen Teiler haben. \(n_i\) sind also die Nenner der Brüche welche die Innenwinkel darstellen.
• \(N\) ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner \(n_i\) . Anders gesagt ist \(N\) die kleinste Zahl, die durch alle \(n_i\) geteilt wird.
• Der Ausdruck \(\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{n_i}\) ist eine Summe in der der Index \(i\) von \(1\) bis \(k\) geht. Zum Beispiel für \(k=3\) 
  $$\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{n_i} = \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \frac{1}{n_3}.$$

Beispiel 1: Reckteck

Für das Rechteck gilt: \(k=4\); alle Winkel sind gleich, nämlich \(\pi\frac{m_i}{n_i}=\pi\frac{1}{2}\) oder \(90^{\circ}\), also sind alle \(n_i=2\) und damit ist das kgV \(N=2\). Wir erhalten

$$g=1+\frac{2}{2}\left(4-2-\sum_{i=1}^{4}\frac{1}{2}\right)=1+\frac{4}{2}\left(4-2-2\right)=1.$$

Also handelt es sich um Geschlecht 1 - wir haben einen Donut!

Beispiel 2: Pentagon.

Für das Pentagon gilt: \(k=5\); alle Winkel sind gleich, nämlich \(\pi\frac{m_i}{n_i}=\pi\frac{3}{5}\) oder \(108^{\circ}\), also sind alle \(n_i=5\) und damit ist das kgV \(N=5\). Wir erhalten

$$g=1+\frac{5}{2}\left(5-2-\sum_{i=1}^{5}\frac{1}{5}\right)=1+\frac{5}{2}\left(5-2-1\right)=6.$$

Das Ergebnis ist eine Bretzel mit 6 Löchern.